Corrigé n°1 - Déterminer la valeur du taux d'avancement final sans connaître la valeur du pH

Q1. La constante d'acidité du couple acide méthanoïque/ion méthanoate est par définition la constante d'équilibre associée à la réaction acide-base entre l'acide méthanoïque et l'eau. On a donc : \(\mathrm{HCOOH(aq)+H_2O(\ell)\rightleftarrows HCOO^-(aq)+H_3O^+(aq)}\).

Q2. On a \(K_\text{A}=10^{-\mathrm{pK_A}}\). De plus, quand on dispose d'une solution équimolaire en acide méthanoïque et ion méthanoate, soit \(\mathrm{[HCOOH] = [HCOO^–]}\), on a \(\mathrm{pH = pK_A}\).

Ainsi, par lecture graphique sur la figure 2, la solution équimolaire est obtenue pour un volume versé de solution titrante égal à 5,5 mL. D'après la figure 1, on lit que, pour ce volume, le pH est égal à 3,6.
On a donc \(\mathrm{pK_A=3,6}\) soit \(K_\text{A}=10^{-\mathrm{3,6}}=2,5×10^{–4}\).

Q3. On peut proposer l'une des causes suivantes : 

• incertitude lors des deux lectures graphiques ;
• température des expériences différente de 25 °C ;
  
• pH-mètre mal étalonné ;
  
• etc.
  

Q4. D'après l'équation de réaction, on a \(Q_\text{r}=\frac{(a_\mathrm{H_3O^+(aq)})^{1}\times(a_\mathrm{HCO_2^-(aq)})^{1}}{(a_\mathrm{HCO_2H(aq)})^{1}\times(a_\mathrm{H_2O(\ell)})^{1}}\),

soit \(Q_\text{r}=\frac{\frac{[\mathrm{H_3O^+]}}{\text{c°}}\times\frac{[\mathrm{HCO_2^-]}}{\text{c°}}}{\frac{[\mathrm{HCO_2H]}}{\text{c°}}\times1}=\frac{\mathrm{[H_3O^+]}\times \mathrm{[HCO_2^-]}}{[\mathrm{HCO_2H]}\times{\text{c°}}}\).

De plus, toujours d'après l'équation de réaction, on a   \(\mathrm{[HCOO^–]=[H_3O^+] }=\frac{x}{V}\) et \(\mathrm{[HCO_2H]}=c_\text{A}-\frac{x}{V}\) soit \(\mathrm{[HCO_2H]}=c_\text{A}-\mathrm{[H_3O^+]}\).

Ainsi, on a bien \(Q_\text{r}=\frac{\mathrm{[H_3O^+]^2}}{(c_\text{A}-\mathrm{[H_3O^+]})\times{\text{c°}}}\).

Q5. Si la transformation est totale, on a \(x_\mathrm{max}=n_\mathrm{HCOOH,i}=c_\mathrm{A}\times V\).

Par définition, le taux d'avancement final est \(\tau_\text{f}=\frac{x_\text{f}}{x_\text{max}}\), donc \(x_\mathrm{f}=\tau_\mathrm{f}\times x_\mathrm{max}=\tau_\mathrm{f}\times c_\mathrm{A}\times V\).

Si l'état final est un état d'équilibre, on a  \(n_\mathrm{H_3O^+,éq}=x_\mathrm{f}\) soit \(n_\mathrm{H_3O^+,éq}=\tau_\mathrm{f}\times c_\mathrm{A}\times V\).
Ainsi, il vient  \([\mathrm{H_3O^+}]_\mathrm{éq}=\frac{\tau_\text{f}\times c_\mathrm{A}\times V}{V}\) soit \([\mathrm{H_3O^+}]_\mathrm{éq}=\tau_\mathrm{f}\times c_\mathrm{A}\).

À l'équilibre, on a  \(Q_\text{r,éq}=K_\text{A}\) soit  \(\frac{\mathrm{[\mathrm{H_3O^+}]_\mathrm{éq}^2}}{(c_\text{A}-\mathrm{[\mathrm{H_3O^+}]_\mathrm{éq}})\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\) donc \(\frac{\mathrm{(\tau_\mathrm{f}\times c_\mathrm{A})^2}}{(c_\text{A}-\tau_\mathrm{f}\times c_\mathrm{A})\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\), soit \(\frac{\mathrm{\tau_\mathrm{f}^2\times c_\mathrm{A}}}{(1-\tau_\mathrm{f})\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\).

Q6. On a  \(\frac{\mathrm{\tau_\mathrm{f}^2\times c_\mathrm{A}}}{(1-\tau_\mathrm{f})\times{\text{c°}}}=K_\text{A}\) soit \(\frac{\mathrm{\tau_\mathrm{f}^2\times c_\mathrm{A}}}{K_\text{A}\times{\text{c°}}}=(1-\tau_\mathrm{f})\) donc il vient \(\frac{\mathrm{c_\mathrm{A}}}{K_\text{A}\times{\text{c°}}}\times\tau_\mathrm{f}^2+\tau_\mathrm{f}-1=0\) .

On a alors, par identification, \(A=\frac{\mathrm{c_\mathrm{A}}}{K_\text{A}\times{\text{c°}}}\), \(B=1\) et \(C=-1\). 

Aux lignes 11, 12 et 13 du programme, on doit avoir :
11 : A = cA/(KA*c0)
12 : B = 1
13 : C = -1

Q7. La seule solution qui a un sens chimique est la valeur positive du taux d'avancement final, donc \(\tau_\text{f}=0,044\).
Comme on a \(\tau_\text{f}<1\), l'acide méthanoïque est un acide faible.